分析推导 （推广到复数域）

知识点

指数函数：$e^w={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{w^n}{n!}=1+w+\frac{w^2}{2!}+\frac{w^3}{3!}+\dots$
余弦函数：$\cos (z)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{z}^{2n}}{(2n)!}=1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots$
正弦函数：$\sin (z)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n{z}^{2n+1}}{(2n+1)!}=z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\dots$

考虑指数函数的泰勒展开：
$e^{iz}=1+iz+\frac{-z^2}{2!}+\frac{-i{z}^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{i{z}^5}{5!}+\dots$

重新组合实部和虚部:
$e^{iz}=\left(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\dots \right)+i\left(z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\dots \right)$
因此，我们得到：
$e^{iz}=\cos (z)+i\sin (z)$

微分方程推导（循环论证之嫌）

想法来源

考虑一个函数 $f(x)$ 满足以下微分方程：
$f^{\prime \prime }(x)+f(x)=0$
初始条件 $f(0)=1$ 和 $f^{\prime }(0)=i$

我们知道，这个二阶线性常微分方程的通解是 $f(x)=A\cos (x)+B\sin (x)$
利用初始条件：

• $f(0)=A=1$
• $f^{\prime }(x)=-A\sin (x)+B\cos (x)$。
• $f^{\prime }(0)=B$。所以 $B=i$。

因此，满足这个微分方程和初始条件的函数是 $f(x)=\cos (x)+i\sin (x)$

考虑函数 $g(z)=e^{iz}$
$\frac{d}{dz}{e}^{iz}=i{e}^{iz}$。
再求一次导：$\frac{d^2}{d{z}^2}{e}^{iz}=-e^{iz}$。
即
$\frac{d^2}{d{z}^2}{e}^{iz}+e^{iz}=0$