设 是一个 Banach 空间， 是定义在 上的一族连续线性泛函。
定理
如果对每个 ，都有 ，那么我们只假设：对于某个第二类集中的所有 ，都有 ，那么上述结论仍然成立。
根据 Baire 定理，Banach 空间 本身是第二类集。设存在第二类集 ，使得对每个 ，都有 。对每个正整数 ，定义，于是由假设可知 。
每个 都是闭集。事实上，可以写成。由于每个 都连续，所以集合 是闭集，而任意闭集的交仍然是闭集。如果所有 都是 nowhere dense，那么它们的可数并也是第一类集。由于 包含在这个可数并中， 也将是第一类集，这与 是第二类集矛盾。因此，至少存在一个 ，使得 具有非空内部。
于是存在 和 ，使得
因此，只要 ，对任意 都有 。
现在任取 。因为 ，而 ，所以对任意 ，利用线性性和三角不等式可得。这说明所有泛函 在原点附近的同一个球上具有统一上界。
最后任取 ，令 ，则 。因此 ，由线性性得到
。于是对所有 都有统一的算子范数上界：
一致有界原理
设 是 Banach 空间， 是一族连续线性泛函。
一致有界原理真正讨论的是两个不同层次的“有界”。
逐点有界是指：对每个固定的 ，都有 。
这里的上界允许依赖于 。也就是说，对于每个 ，都存在自己的 ，使得对所有 都有 。
而一致有界要求存在同一个常数 ，使所有 同时满足 ，等价地，
因此这个定理真正要解释的问题是：
每个点都有自己的界，为什么最终能找到一个对所有点、所有泛函都统一有效的界？
从逐点上界中寻找统一上界
假设存在第二类集 ，使得对每个 ，都有 。
对于每个正整数 ，定义
构造 的目的不是单纯为了套 Baire 定理。它是在做一件更本质的事情：
把每个点各自不同的上界 ，按照统一阈值 分类。
由于每个 都有有限上界，所以总能找到某个正整数 ，使得 。因此 。
现在的问题变成：
这些具有统一上界 的集合 ，是否至少有一个真正占据了一块区域？
Baire 定理：从逐点有界到局部一致有界
对固定的 ，
由于每个 连续，所以每个集合 都是闭集，因此 也是闭集。
如果所有 都没有内部，那么由于它们是闭集，每个 都是 nowhere dense，于是 是第一类集。
但 是第二类集，而且 ，这就产生矛盾。
因此必然存在某个 ，使 具有非空内部。所以存在 和 ，使得
于是对所有 和所有 ，都有 。
这一步才是一致有界原理的核心。
原来的信息是：
每个点分别有界。
Baire 定理把它提升成：
存在一个完整的开球，在这个开球上所有泛函共享同一个上界。
也就是说，Baire 定理完成了“逐点有界 局部一致有界”。
为什么局部一致有界足够
现在已经知道，在 上存在统一上界 。
首先把这个球上的估计搬到原点附近。任取 ，因为 ，同时 ，所以对任意 ，都有 和 。
利用线性性，
于是整个泛函族在原点的同一个邻域内一致有界，即只要 ，就有 。
从局部控制推广到整个空间
最后使用线性泛函的齐次性。
任取 ，令 。此时 ，因此 。
另一方面，由线性性可得 ，所以 。因此对所有 ，都有 。
最终得到
这份笔记真正应该记住的不是 本身，而是整个证明的两次放大：
Baire 定理负责找到一个具有统一控制的区域，线性结构负责把这个区域上的局部控制传播到整个 Banach 空间。