$L^1$空间的完备性

Tip

柯西列收敛到$L^1$中则空间完备。那就是控制子列收敛到$f$即可。

取$L^1$中的一列柯西列$\{f_n\}$，使得

$||f_n-f_m||\to 0,asn,m\to \infty$
用数分的语言描述就是

$\forall ϵ>0,\exists N(ϵ)s.t.n,m\le ϵ$
我们取$ϵ=2^{-k}$则

$||f_{n_{k+1}}-f_{n_k}||<2^{-k}$
取telescoping：

$f(x)=f_{n_1}(x)+{\sum }_{j=1}^{\infty }(f_{n_{j+1}}(x)-f_{n_j}(x))$
和用于控制的绝对值函数:

$g(x)=|f_{n_1}(x)|+{\sum }_{j=1}^{\infty }|f_{n_{j+1}}(x)-f_{n_j}(x)|$
对$g$求积分有：

$\int g=\int |f_{n_1}(x)|+{\sum }_{j=1}^{\infty }\int |f_{n_{j+1}}(x)-f_{n_j}(x)|\le \int |f_{n_1}(x)|+{\sum }_{j=1}^{\infty }{2}^{-j}<\infty$

用$g$控制$f$，则$f$是可积的，也是有限的。

即

$f_{n_k}(x)\to f(x)|f-f_{n_k}|\to 0$
严谨来说是
${\lim }_{k\to \infty }\int |f_{n_k}-f|=0$