三个思路

命题一

群$G$的一个子群$H$是$G$的正规子群，当且仅当$G$中每一元素$a$都有$aH=Ha$

证明

先证充分性：
给定$g\in G$，任取$h\in H$由于$gH=Hg$,因此$h^{\prime }\in H$使得$gh=h^{\prime }g$,即$gh{g}^{-1}\in H$同理我们有$g^{-1}hg\in H$进一步假设$y$属于H，则$y=g(g^{-1}yg)g^{-1}\in gH{g}^{-1}$
再证必要性:
设$H◃G$,任取$g\in G$由于$gH{g}^{-1}=H$
于是任意$h\in H$,都有$gH{g}^{-1}\in H$从而$gh=(gh{g}^{-1})g\in Hg$
类似的$gh=ha$,所以$gH=Hg$
综上所述，$H◃G$

命题二

$H$是$G$的一个子群，对任意G中元素$g$，任取H中元素$h$,都有$gh{g}^{-1}\in H$,则$H$是正规子群

命题三

$H$是$G$的指数为二的子群，则它是正规的

核心思路

核心在指数为2，即可以分为两个群的直和

证明：
任取$g\in G$，分两种情况
情况一：$g\in H$,则显然$gH=H=Hg$
情况二：g不在H中，这是G有两种拆分$G=H\cup gH,G=H\cup Hg$
由此$aH=Ha$从而$H◃G$

由此也可以看出整数群的所有子群都是正规的