命题

任意$R^d$上的可测函数都存在一个单调递增简单函数序列逐点收敛带到$f$，使得${\phi }_k(x)\le {\phi }_{k+1}(x)and{\lim }_{k\to \infty }{\phi }_k(x)=f(x)$

从一个例子开始：$f(x)=x^2$,我们选定$N=2$，让$Q_N$表示以原点为中心的小正方形，这里直接取$N=M=2$,他们分别控制着逼近范围和逼近精度。

按照证明，先构造一个最简单的逼近函数$F_n=\{\begin{array}{cl}f(x)& \text{ if }x\in Q_N\text{ and }f(x)\le N,\\ N& \text{ if }x\in Q_N\text{ and }f(x)>N,\\ 0& \text{ otherwise }.\end{array}$
在例子中就是${\phi }_1=F_{2,2}=\{\begin{array}{cl}{x}^2& \text{x}\in (-1,1),\\ 0& \text{ otherwise }.\end{array}$
接下来我们让$N\to \infty$则$\phi (x)\to f(x)$
取$E_{l,M}=\{x\in Q_N:\frac{l}{M}<F_N(x)\le \frac{l+1}{M}\},for0\le l\le NM$
即$E_{l,2}=\{x\in (-1,1):\frac{l}{2}<F_N(x)\le \frac{l+1}{2}\},for0\le l\le 4$
最后用指数函数表示$F_{N,M}(x)$：
${\sum }_l\frac{l}{M}{\chi }_{E_{l,M}}(x)$
再严格化证明$0\le F_N(x)-F_{NJM}(x)\le \frac{1}{M}$对任意的$x$成立，则$0\le F_M(x)-{\phi }_k(x)\le \frac{1}{2^k}$