题目

设 $f\in L^{\infty }(X)$，并且 $f$ 支撑在一个有限测度集上。证明：对所有 $1\le p<\infty$，都有 $f\in L^p(X)$，并且

$$\Vert f{\Vert }_{L^p}\to \Vert f{\Vert }_{L^{\infty }}\text{as }p\to \infty .$$

Tip

给出了一套和stein完全不一样的证明方式，直观上来说可以先证明$p\to \infty$的时候增量是0，也即有界，进而通过确定上下界来确定极限。

设 $M=\Vert f{\Vert }_{L^{\infty }}$。因为 $f\in L^{\infty }(X)$，所以 $|f(x)|\le M$ a.e.

又因为 $f$ 支撑在有限测度集 $E$ 上，即 $f=0$ a.e. on $X\setminus E$，并且 $\mu (E)<\infty$，所以对任意 $1\le p<\infty$，有

因此 $f\in L^p(X)$ 对所有 $1\le p<\infty$ 成立。

下面证明

由上面的估计可得

$\Vert f{\Vert }_{L^p}={\left({\int }_X|f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}={\left({\int }_E|f{|}^{p}d\mu \right)}^{1/p}\le {\left(M^p\mu (E)\right)}^{1/p}=M\mu (E{)}^{1/p}.$

令 $p\to \infty$，因为 $\mu (E{)}^{1/p}\to 1$，所以

这给出了上界。

另一方面，任取 $\epsilon >0$。由 $M=\Vert f{\Vert }_{L^{\infty }}$ 的定义可知，集合

具有正测度，即 $\mu (A_{\epsilon })>0$。

否则，如果 $\mu (A_{\epsilon })=0$，那么几乎处处都有 $|f(x)|\le M-\epsilon$。这就说明 $M-\epsilon$ 也是 $|f|$ 的一个本质上界，与 $M$ 是最小本质上界矛盾。

于是，由 $A_{\epsilon }=\{x\in X:|f(x)|>M-\epsilon \}$ 的定义，在 $A_{\epsilon }$ 上有 $|f(x)|>M-\epsilon$，所以

两边开 $p$ 次方，得到 $\Vert f{\Vert }_{L^p}\ge (M-\epsilon )\mu (A_{\epsilon }{)}^{1/p}$。令 $p\to \infty$，因为 $\mu (A_{\epsilon }{)}^{1/p}\to 1$，所以 ${\mathrm{liminf}}_{p\to \infty }\Vert f{\Vert }_{L^p}\ge M-\epsilon$。又因为 $\epsilon >0$ 任意，所以

结合前面已经证明的 ${\mathrm{limsup}}_{p\to \infty }\Vert f{\Vert }_{L^p}\le M$，可得

因此 ${\lim }_{p\to \infty }\Vert f{\Vert }_{L^p}=M$，也就是